Đại số tuyến tính Ví dụ

$- 3 + 3 \sqrt{3} i$

Bước 1

Tính khoảng cách từ $(a, b)$ đến gốc tọa độ bằng công thức $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Bước 2

Rút gọn $\sqrt{{(- 3)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$r = \sqrt{9 + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Bước 2.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{9 + 3^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 2.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$r = \sqrt{9 + 9 {\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 2.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{9 + 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 2.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 2.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{1}}$

Bước 2.2.5

Tính số mũ.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3}$

Bước 2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $9$ với $3$ .

$r = \sqrt{9 + 27}$

Bước 2.3.2

Cộng $9$ và $27$ .

$r = \sqrt{36}$

Bước 2.3.3

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

$r = \sqrt{6^{2}}$

Bước 2.3.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$r = 6$

Bước 3

Tính góc quy chiếu $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{3 \sqrt{3}}{- 3} |)$

Bước 4

Rút gọn $\arctan (| \frac{3 \sqrt{3}}{- 3} |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $- 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 \sqrt{3}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{3 (\sqrt{3})}{- 3} |)$

Bước 4.1.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot \sqrt{3} |)$

Bước 4.2

Viết lại $- 1 \cdot \sqrt{3}$ ở dạng $- \sqrt{3}$ .

$θ̂ = \arctan (| - \sqrt{3} |)$

Bước 4.3

$- \sqrt{3}$ xấp xỉ với $- 1.7320508$ , là một số âm, nên ta làm âm $- \sqrt{3}$ và loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$θ̂ = \arctan (\sqrt{3})$

Bước 4.4

Giá trị chính xác của $\arctan (\sqrt{3})$ là $\frac{π}{3}$ .

$θ̂ = \frac{π}{3}$

Bước 5

Điểm này nằm ở góc phần tư thứ hai vì $x$ âm và $y$ dương. Các góc phần tư được đặt tên theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu ở phía trên bên phải.

Góc phần tư $2$

Bước 6

$(a, b)$ nằm trong góc phần tư thứ hai. $θ = π - θ̂$

$θ = π - \frac{π}{3}$

Bước 7

Rút gọn $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 7.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 7.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Bước 7.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Bước 7.3.2

Trừ $π$ khỏi $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Bước 8

Dùng công thức để tìm các nghiệm của số phức.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Bước 9

Thay $r$ , $n$ , và $θ$ vào công thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π k}{2}$

Bước 9.2

Kết hợp $π$ và $\frac{3}{3}$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π k}{2}$

Bước 9.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π k}{2}$

Bước 9.4

Trừ $π$ khỏi $π \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Sắp xếp lại $π$ và $3$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π k}{2}$

Bước 9.4.2

Trừ $π$ khỏi $3 \cdot π$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k}{2}$

Bước 9.5

Kết hợp ${(6)}^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Bước 9.6

Kết hợp $c$ và $\frac{{(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Bước 9.7

Kết hợp $i$ và $\frac{c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$

Bước 9.8

Kết hợp $s$ và $\frac{i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))))}{2}$

Bước 9.9

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.9.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i (c (6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))))}{2}$

Bước 9.9.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i (c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$

Bước 9.9.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i (c \cdot 6^{\frac{1}{2}}) (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Bước 9.9.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Bước 9.9.5

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i c \cdot 6^{\frac{1}{2}}) (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Bước 9.9.6

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i c) \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Bước 9.9.7

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s i c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Bước 10

Thay $k = 0$ vào công thức và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - \frac{π}{3}) + 2 π (0)}{2})$

Bước 10.2

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Bước 10.3

Kết hợp $π$ và $\frac{3}{3}$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Bước 10.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Bước 10.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Bước 10.5.2

Trừ $π$ khỏi $3 π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Bước 10.6

Nhân $2 π (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.1

Nhân $0$ với $2$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 0 π}{2})$

Bước 10.6.2

Nhân $0$ với $π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 0}{2})$

Bước 10.7

Cộng $\frac{2 π}{3}$ và $0$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3}}{2})$

Bước 10.8

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Bước 10.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Bước 10.9.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Bước 10.9.3

Viết lại biểu thức.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{3})$

Bước 11

Thay $k = 1$ vào công thức và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - \frac{π}{3}) + 2 π (1)}{2})$

Bước 11.2

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Bước 11.3

Kết hợp $π$ và $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Bước 11.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Bước 11.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Bước 11.5.2

Trừ $π$ khỏi $3 π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Bước 11.6

Nhân $2$ với $1$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π}{2})$

Bước 11.7

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}}{2})$

Bước 11.8

Kết hợp $2 π$ và $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}}{2})$

Bước 11.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π + 2 π \cdot 3}{3}}{2})$

Bước 11.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.10.1

Nhân $3$ với $2$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π + 6 π}{3}}{2})$

Bước 11.10.2

Cộng $2 π$ và $6 π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{8 π}{3}}{2})$

Bước 11.11

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{8 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Bước 11.12

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $8 π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (4 π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Bước 11.12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (4 π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Bước 11.12.3

Viết lại biểu thức.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{4 π}{3})$

Bước 12

Liệt kê các đáp án.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{3})$

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{4 π}{3})$